呪われた青年

友人の話にヒントを得た、作り話です。

13名のうら若い男女（男5名＋女8名）が7泊8日の合宿旅行に行った。ベッドルームには、ダブルベッドが6つとシングルベッドが1つあった。彼／彼女らは、毎晩、くじびきで、寝る場所を決めた。で、不幸な青年が一人いて、彼は、たった二晩しか女性とベッドを共にできなかった（残りの四晩は男とベッドを共にし、一晩はシングルベッドに一人で寝たらしい）。合宿がおわった直後から、彼は、「呪われた青年」と呼ばれている。

彼がほんとうに呪われているかどうかを統計学的に検定したい。

この場合、「呪われている」とは、公平なはずの抽選が人智を越えた神（悪魔）の力により彼にだけ不利に作用したこと、と考えよう。そして、帰無仮説は「彼は呪われていない」である。まず、この帰無仮説の下で、上のような事態が生じる確率を計算してみよう。

• 13名（男5、女8）が、くじで、寝る場所を決める
• ダブルベッド6つ ＋ シングルベッド1つ

(A) ある男子が、女子とペアで寝る確率は、（シングルベッドのくじを引かない）×（となりの場所を他の女子がひく）=（12／13）＊（8／12）= 8／13 (B) ある男子が、男子とペアで寝る確率は、（シングルベッドのくじを引かない）×（となりの場所を他の男子がひく）=（12／13）＊（4／12）= 4／13 (C) ある男子が、シングルベッドに寝る確率は、（シングルベッドのくじを引く）=（1／13）

だから、7晩のうち、（A)女子とペアになった回数が a 、(B)男子とペアになった回数が b 、(C)一人で寝た回数が c となる確率は

(8/13)^a * (4/13)^b * (1/13)^c * C(7,c) * C(7-c,a)

ここに、C(x,y) は、x 個から y個を選ぶ組合せの数。

これは多項分布の関数である。多項分布の周辺分布は二項分布。そして、いまの場合にはとにかく、(A)女子とペアになる回数、これが焦眉のポイントなのだが、この平均は (8/13)7=4.3、分散は (8/13)(5/13)7=1.66。正規近似すると、a の下側5%点（平均-1.645√分散）は 4.3-1.645√1.66 = 2.18。サンプルが少ないので、厳密に、周辺確率を計算してみると・・・

女子とペアになる回数 a が 2 以下となる確率は 8.2％

これより、帰無仮説「彼は呪われていない」は、10％の有意水準で棄却できる。つまり、「彼はやはり呪われている」。

追記） 自分への備忘録もかねて（この歳ではすぐに忘れるので^^）。 a の周辺分布を描画する Mathematica スクリプト。二項係数 C(x,y) は、Mathematica では Binomial(x,y)、R では choose(x,y)。 Mathematica では実数値の引数も可能。