相関と偏相関

昨日は、本学大学院の修士・博士論文の最終審査。役職上、朝から控室に陣取って審査の成り行きを見守っていたが、退屈なので博士号候補の人の論文をながめてみると・・・う〜む、珍妙なデータ分析をやっている。こりゃあかんだろう。というわけで、博士論文の審査会場に乱入して、言いたいままに、当該論文をコキおろしてしまった^^。でも、本人は自分の誤りに気づいていないのだから、誰かがどこかで指摘しておかねばならないことだ。本審査担当者の寛大でオープンな対応には感謝したい（すこし呆れておられたかも^^）。

その場でも話題にしたんだけど、相関と偏相関の違いは重要だ。

Yという変数の動きに影響を与える二つの要因（AとB）があるとする。Aが増えるとYが増え（図の青い矢印）、Bが増えるとYが増える（図の黄色い矢印）という関係にあるものとしよう。

このとき、YとAの相関係数がとらえるものは、AとBの影響の総和としてのYの変動（図の緑点線の長方形）と、Aの変動との関係である。つまり、相関係数には他の変数の影響が含まれてしまう。

しかし、回帰分析を行うと「偏相関」を計測できる。つまり、Aの影響のみによるYの変動（図のオレンジ点線の長方形）と、Aの変動との関係をとらえることができる。偏相関（回帰分析）では他の変数の影響が除去される。

この違いが顕著にあらわれるのは、たとえば下図のような場合。

AとBはいつも逆方向に動いていると仮定しよう。すると、Aの影響はBの影響に相殺されて、Yはほとんど変動しなくなる。

このときには、YとAの相関係数はゼロに近い値となり、AはYにまったく影響を与えない（AとYは無相関の）ように見えてしまう。こういう場合には、他の変数の影響を除外した偏相関を見てやらねばならない。

あの場で本審査員の一人から指摘されたことなんだけど、生活保護率と離婚率の相関係数は、全国では＋となるが、大阪ではーとなる。しかし、生活保護率を被説明変数にして回帰をやると、全国でも大阪でも離婚率の係数は有意に＋となる（つまり、偏相関は全国でも大阪でも＋）。これはどう解釈できるだろうか。